Question

设数列an满足a1+2a2+3a3+.....+nan=2^n(n属于N*）求数列an的通项公式

设数列an满足a1+2a2+3a3+.....+nan=2^n(n属于N*）求数列an的通项公式
设bn=n^2an,求数列bn的前n项和Sn

Answer 1

解：
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)+nan=2^n (1)
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=2^(n-1) (2)
(1)-(2)
nan=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)
an=2^(n-1)/n
n=1时，a1=2^0/1=1/1=1
而由已知得a1=2^1=2
数列{an}的通项公式为
an= 2 (n=1)
2^(n-1)/n (n≥2)
bn=n²an
b1=a1=2
n≥2时，
bn=n²×2^(n-1)/n=n×2^(n-1)
Sn=b1+b2+...+bn=2+2×2+3×2²+...+n×2^(n-1)
令Cn=2×2+3×2²+...+n×2^(n-1)
则2Cn=2×2²+3×2³+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2ⁿ
Cn-2Cn=-Cn=2[2+2²+2³+...+2^(n-1)]-n×2ⁿ
=2×2×[2^(n-1)-1]/(2-1)-n×2ⁿ
=2^(n+1)-4-n×2ⁿ
Cn=n×2ⁿ-2^(n+1)+4
Sn=2+n×2ⁿ-2^(n+1)+4=n×2ⁿ-2^(n+1)+6