Question

椭圆问题，急求答案

已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点，若向量OA+向量OB与向量n=（3，-1）共线，求椭圆的离心率 请附带详细步骤，万分感谢

Answer 1

设F（c，0），因为斜率为1且过椭圆右焦点F的直线，则可设直线AB方程为y=x-c.将椭圆方程标准方程设出判搏：x平方除以a平方加上y平方除以b平方等于1。（抱歉我这儿打不出那种数学语言，平方后面统一用*2表示，/表示除）
A(x1,y1),B(x2,y2）
则向量OA+OB=（x1+x2,y1+y2)
因为OA+向量OB与向量n=（3，-1）共线
所以有（x1+x2)/3=(y1+y2)/-1
将直线方程y=x-c.代入椭圆标州漏准方程中消去y,化简
就有(b*2+a*2)x*2-2a*2cx+a*2(c*2-b*2)=0
就有x1+x2=2ca*2/(b*2+a*2),,,y1+y2=x1-c+x2-c=x1+x2-2c=a*2(c*2-b*2)/(a*2+b*2)
代入（x1+x2)/3=(y1+y2)/-1中可得a*2=3b*2
且由离心率e=c/a及椭圆性质a*2=b*2+c*2可得
a*2=3b*2
a*2=b*2+c*2
得c*2/a*2=2/3
所以e=c/a=3分掘迹祥之根号6