Question

设a＞0，讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x²-2(1-a)x的单调性

Answer 1

首先，函数的定义域是（0，+∞）
f ‘(x)=1/x+2a(1-a)x-2(1-a)=[1+2a(1-a)x^2-2(1-a)x]/x
令g(x)=1+2a(1-a)x^2-2(1-a)x=2a(1-a)x^2--2(1-a)x+1
①当2a(1-a)=0，即a=1时,g(x)=1，f‘(x),≥0
②当2a(1-a)＞0，即0＜a＜1时，函数g(x)开口向上
△=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-a-2a)=4(1-a)(1-3a)
Ⅰ当1/3≤a＜1时，△≤0，g(x)≥0，f ‘(x)≥0
∴f(x)在（0，+∞）单调递增
Ⅱ当a＜1/3或a＞1（舍去）时，△＞0，
令g(x)=0，得到两根x1,x2
∴f(x)在(0,x1) 和(x2,+∞) 单调递增
f(x)在(x1,x2)单调递减
③2a(1-a)＜0，即a＞1时，函数g(x)开口向下
△=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-a-2a)=4(1-a)(1-3a)＞0，
令g(x)=0，得到两根x1,x2
∴f(x)在(0,x1) 和(x2,+∞) 单调递减
f(x)在(x1,x2)单调递增