Question

高数求微分方程通解附图

Answer 1

解：对y=(3+2x)e^(2x)+4e^x求导带入微分方程有
[20+8a+3b+(8+4a+2b)x]e^(2x)+(4+4a+4b)e^x=ce^(2x)
对比系数有下列三元一次方程组：
20+8a+3b=c；8+4a+2b=0；4+4a+4b=0。
解得：a=-3，b=2，c=2
故微分方程为y''-3y'+2y=2e^(2x)
首先易知其次微分方程y''-3y'+2y=0的通解为y=C1e^x+C2e^(2x) (C1、C2为常数)
下面求非齐次微分方程y''-3y'+2y=2e^(2x)的特解，设特解为y*，令d/dx=D
则原微分方程变为(D²-3D+2)y*=2e^(2x)
故y*=[1/(D²-3D+2)][2e^(2x)]={1/[(D-1)(D-2)]}[2e^(2x)]=[2e^(2x)]{1/[D(D+1)]}
=[2e^(2x)]{(1/D)*[1/(D+1)]}=[2e^(2x)]*[(1/D)*(1-D)]*1=[2e^(2x)]*(1/D-1)*1=[2e^(2x)](x-1)
=2(x-1)e^(2x)
所以，原非齐次微分方程通解为
y=C1e^x+C2e^(2x)+2(x-1)e^(2x) (C1、C2均为任意常数)

题主如有不懂的可以百度Hi说，追问只能问3次~~原则上2(x-1)e^(2x)里面的-2e^(2x)可以和前面的C2e^(2x)合并同类项形成新的C2，所以也可以写成y=C1e^x+(2x+C2)e^(2x)

Answer 2

由特解的形式可看出特征根为1,2
因此原方程通解为：y=c1e^x+c1e^(2x)+y*， y*为已知的特解。

追问

不是 ，y*是 2x*e^(2x）

追答

y*加上任意c1e^x+c2e^(2x）也仍然是方程的解，所以你也可以把2xe^(2x)+4e^x+3e^(2x)作为方程的一个特解。

追问

那2x*e^(2x）是怎么算的？

追答

因为2是特征根，而方程的右端是ce^(2x)的形式，因此特解要设为：axe^(2x)的形式