Question

根号下1-x^2分之一的不定积分是什么？

Answer 1

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

x = sinθ，dx = cosθ dθ。

∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ。

= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C。

= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C。

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C。

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C。

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式。