Question

这个怎么写请问？

Answer 1

这个不定积分有点复杂。需要多次使用换元法。

1. 先设 u = √x。则 x = u²，dx = 2u * du

   那么，原积分变换为：

   =∫arcsin(u) * 2u * du

   =2∫arcsin(u) * u * du

2. 再次使用换元法，设 θ = arcsin(u)。则 u = sinθ，du = cosθ * dθ。

   那么，1 式的不定积分等于：

   =2∫θ * sinθ * cosθ * dθ

   =∫θ * sin(2θ) * dθ

3. 再使用分部积分法，设 ds = sin(2θ) * dθ。则 s = 1/2 * [-cos(2θ)]

   则 2 式中的不定积分等于：

   =θ * s - ∫s * dθ

   =-1/2 * θ * cos(2θ) + 1/2 * ∫cos(2θ) * dθ

   =-1/2 * θ * cos(2θ) + 1/4 * sin(2θ) + C

   =-1/2 * θ * (1 - 2sin²θ) + 1/2 * sinθcosθ + C

   = -1/2 * arcsin(u) * (1-2u²) + 1/2 * u * √(1-u²) + C

   = -1/2 * arcsin(√x) * (1-2x) + 1/2 * √x * √(1-x) + C

   = -1/2 * arcsin(√x) * (1-2x) + 1/2 * √(x-x²) + C

希望这个解答能够帮到你！

Answer 2

定义域 x ≥ 0. 分部积分得
I = ∫arcsin√xdx = xarcsin√x - ∫[x/√(1-x)]d√x
后者令 √x = sint， 则 x = (sint)^2, √(1-x) = cost, d√x = costdt, 得
I1 = ∫[x/√(1-x)]d√x = ∫(sint)^2dt = (1/2)∫(1-cos2t)dt
= (1/2)t - (1/4)sin2t = (1/2)t - (1/2)sintcost
= (1/2)arcsin√x - (1/2)√x√(1-x)
则 I = xarcsin√x - (1/2)arcsin√x + (1/2)√(x-x^2) + C

Answer 3

如图所示：