Question

拜托一题高数！谢谢了！

设函数f（x，y）可微，f对x偏导=-f（x，y），f（0，pi/2）=1,且满足lim(n趋向于无穷)
（f（0，y+(1/n)）/f(0,y)）的n次方=e的coty次方，求f(x,y)

Answer 1

【e^x*f(x,y)】对x的偏导数＝e^x【f对x偏导+f(x，y)】=0，因此e^x*f(x，y)与x无关，设为g(y)，即
e^xf(x,y)=g(y)。由条件有g(pi/2)=1。

于是f(0，y)=Csiny，由f(0，pi/2)=1得C＝1。即f(0，y)=siny。
再由f(x，y)=e^(－x)g(y)得g(y)=f(0，y)=siny，于是
f(x，y)=e^(－x)siny。

Answer 2

【e^x*f(x,y)】对x的偏导数＝e^x【f对x偏导+f(x，y)】=0，因此e^x*f(x，y)与x无关，设为g(y)，即
e^xf(x,y)=g(y)。由条件有g(pi/2)=1。
第二个条件是f对y偏导(0，y)/f(0，y)=coty，或者【lnf(0，y)】对y偏导＝【ln|siny|】’，
于是f(0，y)=Csiny，由f(0，pi/2)=1得C＝1。即f(0，y)=siny。
再由f(x，y)=e^(－x)g(y)得g(y)=f(0，y)=siny，于是
f(x，y)=e^(－x)siny。