Question

已知函数f(x)=ax^3-5x^2+cx+d图像上点(1,8)处的切线过点(3,0),且f(x)在X=3有极值

1.求f(x)的解析式
2.若x∈(0,m)时，f(x)>0恒成立，求m的取值范围
要过程，谢谢

Answer 1

∵f(x)经过(1,8) 则a-5+c+d=8
∵f'(x)=3ax²-10x+c
切线的斜率为f'(1)=3a-10+c
∴切线方程为y-8=(3a-10+c)(x-1)
∵经过(3,0) 则0-8=(3a-10+c)(3-1)
又∵f(x)在x=3处有极值 则f'(3)=0 ==>3a×3²-10×3+c =0
解得：a=1 c=3 d=9
∴f(x)=x³-5x²+3x+9

f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3）由f′（x）=0得x1=1/3，x2=3
当x∈（0，1/3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
∴f（x）＞f（0）=9
当x∈（1/3，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
∴f（x）＞f（3）=0
又∵f（3）=0
∴当m＞3时，f（x）＞0在（0，m）内不恒成立
∴当且仅当m∈（0，3]时，f（x）＞0在（0，m）内恒成立．
所以m取值范围为（0，3]．