Question

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的右顶点A作斜率为-1的直线，与两渐近线交于B C,若向量AB=1/2向量BC,求离心率

Answer 1

由双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1知两渐近线方程为y=±bx/a，
过右顶点A(a，0)且斜率为-1的直线l为y=-x+a，
分别解直线l与两渐近线所组成的方程组，
得交点B(a²/(a+b)，ab/(a+b))，C(a²/(a-b)，-ab/(a-b))，
所以向量AB=(-ab/(a+b)，ab/(a+b))，向量BC=(2a²b/(a²-b²)，-2a²b/(a²-b²))
因为向量AB=1/2向量BC，所以-ab/(a+b)=a²b/(a²-b²)，即b=2a，
所以c=√(a²+b²)=√5a，离心率e=c/a=√5。