Question

复数、欧拉公式和复指数信号

Answer 1

复数可以表示为复平面的向量，其中a为实轴坐标，b为虚轴坐标。

对任意两个复数 

由向量加法的平行四边形法则，可得

不同于向量的点积（内积）

以及 向量的叉乘（外积）

复数对实轴的反射， 。

欧拉公式的幂级数论证

 所以

 由 正弦和余弦展开式，显然欧拉公式成立。

欧拉公式将指数和正余弦函数统一起来，一些三角函数用指数形式很容易解决和理解。

对于连续复指数信号  ,可以看成是以角速度 转动，转动时间为 的信号。显然复指数信号可以分解上正弦信号和余弦信号。

当 不等于0时，所有的 都是周期信号， 是随着时间 的增长，在单位圆上，以角速度 做周而复始的圆周运动，显然必然会在一定的时间 回到相同的位置， 最小时，即刚好转动一周的时间叫做基波周期。因为正弦信号和余弦信号是复指数信号在两个坐标轴上的投影，而复指数信号是周期的，所以正余弦信号也都是周期的并且其周期相同。

对离散复指数信号 , 为0到无穷上的正整数。该信号可以理解为每隔弧度 在连续复指数信号上的采样，离散复指数信号也可以分解成离散的正余弦信号。和连续复指数信号不同的是，离散复指数信号不一定是周期的。对离散信号而言，周期信号的定义为：

。

当 能整除 时，即 时，显然此时，离散复指数信号时周期的并且周期信号为N，对应连续信号刚好转动一周。

当 , 也为正整数，表示连续信号转动的周数。当 时，则间隔 个点，或者间隔 ，又回到了相同的地方，所以此时离散信号也是周期的， 最小时对应的 为基波周期。

其他情况，无论转动多少周，都会不到原点，显然是非周期的。

同样离散复指数信号对应的离散正弦和余弦有相同的性质，即有相同的基波周期。

离散信号和连续信号另一个主要不同是，当 时：

显然角速度 和角速度 对应的离散信号完全一致。从几何上理解就是，即间隔 和间隔 ，从圆上采样，显然结果没有区别。也就是说当角速度 时，不会再有新的信号。

因为正弦信号和余弦信号是复指数信号在两个坐标轴上的投影，所以离散正余弦信号也有这个特点，即

, 为非负这整数。

复分析-可视化方法