Question

集合论与逻辑

Answer 1

论断
关于论断的知识点可以参照我们高中阶段学过的命题。

我们把形如“若P，则Q。”的语句称为论断。它的含义是：若P为真，则Q也真。若P不真，则Q可以真，也可以不真。

举一个例子：“若 ”.是一个论断，其中“x > 0”称为论断假设，“ ”称为论断结论。他是真论断，因为任何时候只要假设成立，结论就一定成立。

再来看一个关于实数的真论断： 不论何时，只要假设成立，则结论一定成立。当然，这里的假设无论何时都不会成立。因此这一论断被称为 虚真论断 .

笛卡尔积
这是一个由已知集合得到新集合的过程。他用到成员“有序偶对的概念”。在学习解析几何的过程中，第一件事就是确认，在平面上取x轴和y轴后，平面上任何一个点都对应着一个有序实数对 .

将有序偶对的概念放在一般的集合上，给定集合 和 ，其笛卡尔积（Cartesian product)可以定义为 。

由两个集合的笛卡尔积可以归纳出N个和可数个集合的笛卡尔积。

例题：题目为Munkres的Topylogy(拓扑学)1.1节的第10 题。
10.设 为实数集，试判断下列是否为 的两个子集的笛卡尔积。

a.

b.

c.
不是两个R的子集和笛卡尔积。说明如下。
根据上面集合的定义
若 ，则
则 矛盾。因此 不是 的两个子集的笛卡尔积。