Question

已知:在平行四边形ABCD中,AE垂直BD于点E，CF垂直BD于点F，G和H分别为AD,BC的中点。 求证：EF和GH互相平分

Answer 1

【悬赏30分，给你两种方法，供参考】
【证法1】：
连接EG，HF
∵AE⊥BC，G为AD的中点
∴EG为Rt⊿AED的斜边中线
∴EG=½AD=DG
∴∠GED=∠GDB
同理：
HF=½BC=BH
∴∠HFB=∠HBD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴①AD=BC
∴EG=HF
②AD//BC
∴∠GDB=∠HBD
∴∠GED=∠HFB
∴EG//HF
∴四边形EGFH为平行四边形
∴EF和GH互相平分
【证法2】：
设BD于GH交于O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∴∠GDO=∠BHO，∠GDO=∠HBO
∵G,H是AD，BC的中点
∴DG=BH
∴⊿DGO≌⊿BHO（ASA）
∴GO=HO，DO=BO
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AED=∠CFB=90º
又∵∠ADE=∠CBF，AD=BC
∴⊿ADE≌⊿CBF（AAS）
∴DE=BF
∴DE-DO=BF-BO
即EO=FO
∴EF和GH互相平分

Answer 2

设交点为O，因为 ODH全等于OHB（角边角）所以OH=OG, OB=OD
因为 ABE全等于CDF(边角边） 所以 BE=DF 所以 OE=OF 所以平分