Question

连续函数的性质

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Answer 1

闭区间上连续函数的性质：

一、最大值和最小值定理

定理1（有界性与最大值最小值定理）：闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定有最大值和最小值。注意：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界，也不一定有最大值和最小值。

二、零点定理和介值定理

定理2（零点定理）：设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a)⋅f(b)<0 ），那么在开区间 (a,b) 内至少有一点 ξ ，使 f(ξ)=0 。

定理3（介值定理）：设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且在这个区间的端点取不同的函数值 {f(a)=Af(b)=B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间 (a,b) 内至少有一点 ξ ，使得 f(ξ)=C(a<ξ<b) 。（简言之，闭区间上的连续函数，至少取得介于端点函数值之间的一切值一次。）