Question

定积分与不定积分怎么计算？

Answer 1

高等数学区间再现公式如下图：

区间再现公式第一行的式子的区间从a到b变成了b到a的原因：

dx=d(a+b-t)=-dt，a，b是常数求导直接为0，负号和前面积分上下限抵消，并且上下限要互换。

区间再现公式的精妙之处在于，可以不改变积分区域的情况下对被积函数进行改造。当三角函数掺杂在复杂的指数对数或者普通的多项式中（如x*丨sinx丨），且积分区域是含π/2、π等这样形式的时候，就适合用区间再现公式。

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。