Question

数列{an}中，a1=0,a2=3,a3=2,且an≥0，an+1·an=(an-1+2)(an-2+2)(n≥3，n∈N*）。试用数学归纳法证明：当

n≥3，n∈N*时，an=an-2+2

Answer 1

证：
a3=2 a1+2=0+2=2 a3=a1+2，等式成立。
假设当n=k(k∈N，且k≥3)时，等式成立，即ak=a(k-2)+2，则当n=k+1时，
a(k+1)×ak=[a(k-1)+2][a(k-2)+2]=[a(k-1)+2]ak
等式两边同除以ak
a(k+1)=a(k-1)+2=a[(k+1)-2]+2
等式同样成立。
综上，得an=a(n-2)+2