Question

判断对错：n阶矩阵A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量？

Answer 1

判断：正确。

必要性：n阶矩阵A能对角化 → A有n个线性无关的特征向量。

证明：

∵ n阶矩阵A可以对角化，

由对角化的定义，一定存在可逆阵P使得P^-1AP=Λ，

∴ Λ为n阶对角阵且对角元素均为A的特征值，

对于这n个特征值中的每一个，一定可以从特征多项式中找到属于自己的特征向量，

∵ 特征向量彼此属于不同的特征值，

∴ 这n个特征向量线性无关，

∴ n阶矩阵A能对角化 → A有n个线性无关的特征向量。

充分性：A有n个线性无关的特征向量 → n阶矩阵A能对角化。

证明：

A有n个线性无关的特征向量，不妨设其为α1，α2 ... αn，

A（α1，α2 ... αn）=（α1，α2 ... αn）Λ，

∵ α1，α2 ... αn线性无关，

∴ 矩阵（α1，α2 ... αn）可逆，

等式两边同时左乘（α1，α2 ... αn）^ -1，

∴ （α1，α2 ... αn）^ -1 A（α1，α2 ... αn）= Λ，

令可逆阵P为（α1，α2 ... αn），

∴ P^-1AP=Λ，

∴ A有n个线性无关的特征向量 → n阶矩阵A能对角化。

综上所述，n阶矩阵A能对角化的充分必要条件为A有n个线性无关的特征向量。

Answer 2

矩阵的相似对角化定义：设n阶矩阵A，若存在n阶可逆矩阵P，使得P-1 AP=Λ,其中Λ是对角矩阵，则称A可相似对角化，记作A~Λ，称Λ是A的相似标准型。
P-1 AP=Λ记作A~Λ，这是定义哈。
A能对角化——>A有n个线性无关的特征向量（开始证明充分性）
设P=[a1,a2,a3,...,an]

（ai不是数字，是P的列分块，也能看做1×n的向量，所以用逗号隔开）

Λ=[b11 b22 b33 ... bnn]，其中（bii对应在矩阵的主对角线上）
P-1 AP=Λ，P可逆，左乘P，故AP=PΛ，
A[a1,a2,a3...,an]=[a1,a2,a3,...,an]Λ
[Aa1,Aa2,Aa3,Aa4]=[a1b11,a2b22,a3b33,...,anbnn]
根据矩阵相等条件Aai=biiai i=1,2,3,4,..,n A的特征值为bii。
A~Λ推出了Aai=biiai,
（这不是特征值与特征向量关系吗，bii是A的特征值，ai是A的特征向量）
P可逆，P中每一列a1,a2,a3,...,an线性无关（如果相关，说明ai有多余向量，这个多余向量可以用n-1个向量线性表示，可以消去，有一列向量为0，|P|行列式为0,不可逆）
ai是A的特征向量，ai都相互无关，也就是A有n个(a1,a2,a3,...,an)线性无关的特征向量
A能相似对角化说明——>A有n个线性无关的特征向量(充分性到此证完)
A有n个线性无关的特征向量——>A能相似对角化(开始证明必要性)
然后反着来证明必要性。
Aai=biiai i=(1,2,3,...,n) (A有n个线性无关的特征向量，可以这么写吧)
每个都乘一下，可以化成矩阵形式（化成矩阵是人为的，没特殊含义，可以这么化的，这么化好做），
也就是[Aa1,Aa2,Aa3,Aa4]=[a1b11,a2b22,a3b33,...,anbnn]
A提出来，A[a1,a2,a3...,an]=[a1,a2,a3,...,an][b11 b22 b33 ... bnn]=[a1,a2,a3,...,an]Λ
AP=PΛ
左乘p-1得
P-1AP=Λ
这是A可相似对角化定义，
故A有n个线性无关的特征向量——>A能相似对角化(必要性到此证完)
说点题外话：

其实，证明过程的每一步都是可逆的，能推出的东西都能反过来推回去。
分开写容易接受。
像P-1AP=Λ，左乘P为 AP=PΛ，那么AP=PΛ左乘P-1为P-1AP=Λ，这不用说就是正确的
后面（证明充分性时）做分块分开乘，到最后（证明必要性）也能合在一起，每一步都是可以相互推出来的。
U<=>V<=>W<=>X<=>Y<=>Z,U可推Z,当然Z也可推U。