Question

什么是正定矩阵？

Answer 1

正定矩阵　　
设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量 　　X=(x_1,...x_n) 都有 X′MX>0，就称M正定(Positive Definite)。 　　正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 　　所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 　　另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 　　判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 　　判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正。 　　判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

Answer 2

正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即单位矩阵。
　　所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
　　判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
　　判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
　　判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
　　正定矩阵的性质：
　　1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即 |A|≠0。
　　2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
　　3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。