Question

平行四边形两条对角线的平方和等于

Answer 1

平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

求证：

已知：在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线，

求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2

证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，

则∠AEB=∠DFC=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCF，

∴△ABE≌△DCF，

∴AE=DF，BE=CF．

在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得

AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，

BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，

∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）＋2BC2．

又∵AE2+BE2=AB2，

即：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．

∵AB=CD，AD=BC，

∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2