Question

怎样用幂级数求函数高阶导数？

怎样用幂级数求函数高阶导数？ 如y=-1/(1+x^2) 求y(0)的n阶导数 求指教 谢谢

Answer 1

根据函数的泰勒级数中的每一项的系数是如下形式：y⁽ⁿ⁾(x0)/n!=an
因此可利用展开式：y⁽ⁿ⁾(x0)=an*n!就可求出高阶导数

1/(1+x)=1-x+x²-x³+....+(-1)ⁿxⁿ+...
将x换成x²，前面加负号
-1/(1+x²)=-1+x²-x⁴+x⁶-x⁸+....+(-1)ⁿx²ⁿ+...
若要求y(0)的n阶导数，首先要知道n的奇偶性，若n为奇数，则y⁽ⁿ⁾(0)=0
若n为偶数，则an=-(-1)^(n/2)，因此y⁽ⁿ⁾(0)=-(-1)^(n/2)*n!