Question

短除法是怎样计算最大公因数的？

Answer 1

短除法 求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例如：求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有：1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12＝2×2×3
18＝2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有公因数2和3，而它们的乘积2×3＝6，就是12与18的最大公因数。
采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公因数和最大公因数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易。
从短除中不难看出，12与18都有公因数2和3，它们的乘积2×3＝6就是12与18的最大公因数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公因数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除，如附图1。
在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它无此因数的数则原样落下。最后把所有因数和最终剩下每两个都是互质关系（除1以外没有其他公因数）的数连乘即得到最小公倍数。如图2。

Answer 2

短除法，也称欧几里得算法或辗转相除法，是一种用于计算两个整数的最大公因数的有效方法。它的基本思想是通过反复用较小的数去除较大的数，直到余数为0为止，此时较小的数即为最大公因数。

以下是短除法的步骤：

• 将两个整数 a 和 b 用较大的数除以较小的数，即将 b 除以 a，并得到余数 r。

• 如果余数 r 为0，则较小的数 a 即为最大公因数。

• 如果余数 r 不为0，则将较小的数 a 与余数 r 重复上述步骤，即将 a 除以 r，并得到新的余数 r1。

• 重复步骤3，直到余数为0，此时最后一个非零余数即为最大公因数。

例如，计算 48 和 30 的最大公因数：

• 48 ÷ 30 = 1 ... 18，余数为18

• 30 ÷ 18 = 1 ... 12，余数为12

• 18 ÷ 12 = 1 ... 6，余数为6

• 12 ÷ 6 = 2 ... 0，余数为0

因此，48 和 30 的最大公因数为6。

Answer 3

短除法 求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。