Question

有关高等数学函数周期性题目,求详解

设函数f(x)具有二阶导数,并满足f(x)=-f(-x),且f(x)=f(x+1).若f'(1)>0,则( ) A.f''(-5)<=f'(-5)<=f(-5). B.f(5)=f''(-5)<f'(-5). C.f'(-5)<=f(-5)<=f''(-5). D.f(-5)<f'(-5)=f''(-5)

Answer 1

f(x)=-f(-x),且f(x)=f(x+1) 知f(x)是周期为1的函数，在一个完整周期内为奇函数，且f(0)=0
由奇函数的性质，f(x)在单个周期内单调，又f '(1)>0，确定为单调增函数
周期函数f(5)=f(-5)=f(0)=0
周期函数的导函数也是周期函数
f '(-5)= f '(1) =f '(0)>0；
f '(x)= f '(-x) ， f '(x)为偶函数(在单个周期内)
f ''(x) = - f ''(-x) ，f ''(x)为奇函数(在单个周期内) ，f ''(-5) = f ''(0) =0
故f(5)=f''(-5)<f'(-5) ，答案B
也可以举个例子：周期函数f(x)=tan(x) ，-1/2<x<1/2
f(0)=0，f '(0)=1，f ''(0) =0