Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c图像过原点且在x=1处有极大值

1.求a取值范围 2.若方程f(x)=-(2a+3)^2/9恰有2个不同实根求f(x)解析式

Answer 1

因为f(0)=0,所以c=0
导函数f`(x)=3x^2+2ax+b
又因为f(x)在x=1处有极大值，故1为方程f`(x)=0的较小的根
2a+b=-6
4a2-12b>0
-2a/3>1
解上面的不等式组即可得到1的解
问题2说明导函数的极值对应的点有且只有一个在x轴上

Answer 2

第一题 图象过原点所以c=0,则f(x)=x^3+ax^2+bx，f'（x）=3x^2+2ax+b,因为在x=1处有极大值，所以x=1是f'（x）=0的根，f'（x）=3(x-1)(x-d),可得d=-(2a+1)/3,f'（x）=0的两根就是1，d;且f'（1）=0,得b=-3-2a.
所以f(x)=x^3+ax^2+(-3-2a)x,因是极大值所以只有d<1时才是，故a>-2.
问题二 方程是3次却与x轴只有两个交点，说明有两个根是相等的，意思就是f(x))+(2a+3)^2/9=(x-e)^2*(x-f)=0