Question

点D,E,F是三角形ABC内三点，向量关系满足AD=DE,BE=EF,CF=FD,设AF=mAB+nAC,求m,n

Answer 1

提示：
AB=AE+EB=2DE+FE=2DE+FD+DE=3DE+FD，得
AB=3DE+FD ①
AC=AD+DC=DE+2DF=DE-2FD，得
AC=DE-2FD ②
由 ①、②两式容易解出
DE=1/7(2AB+AC) ③
FD=1/7(AB-3AC) ④
又
AF=AD+DF=DE-FD
将③、④代入上式得
AF=1/7AB+4/7AC
所以m=1/7,n=4/7.
另法：
设ΔABC三顶点坐标为：A（0，a），B（b，0），C（c，0）
D点坐标
D(xd,yd)，则
E(2xd,2yd-a)
F(4xd-b,4yd-2a)
由F为DC中点，易解得xd=1/7(2b+c),yd=4/7a，则
F(1/7(b+4c),2/7a),
设AF=mAB+nAC，即
(1/7*(b+4c),-5/7*a)=m(b,-a)+n(c,-a)=(bm+cn,-am-an)
分别比较两分量得
m=1/7,n=4/7