Question

已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx？

Answer 1

函数F(x)＝f(x)+g(x)＝x+
a
x+lnx的定义域为（0，+∞）．
∴F′(x)＝1−
a
x2+
1
x=
x2+x−a
x2．
①当△=1+4a≤0，即a≤−
1
4时，得x 2+x-a≥0，则F′（x）≥0．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即a＞−
1
4时，令F′（x）=0，得x 2+x-a=0，
解得x1＝
−1−
1+4a
2＜0，x2＝
−1+
1+4a
2．
（ⅰ） 若−
1
4＜a≤0，则x2＝
−1+
1+4a
2≤0．
∵x∈（0，+∞），
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，
−1+
1+4a
2)时，F′（x）＜0；
x∈(
−1+,2,已知函数 f(x)＝x+ a x (a∈ R），g（x）=lnx
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程 g(x) x ＝x•[f(x)−2e] （e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．