Question

利用高斯公式计算曲面积分,∫∫(x^3-yz)dydz-2x^2ydzdx+zdxdy,其中E为x^2+y^2=R^2？

Answer 1

两问都用高斯公式,令P=x^3-x0dyz,Q=-2yx^2,R=2z,则P'x=3x^x0d2,Q'y=-2x^2,R’z=2,根据高x0d斯公式∫∫∫(Pdydz Qdzdx Rdxdy)=∫x0d∫∫(P‘x Q'y R'z)dxdydz,所求积x0d分=∫∫∫(x^2 2)dxdydz,第一问,x0d很明显x,y,z的积分限都是0到ax0d,因此积分=∫dz∫dy∫(x^2 2)dx=(x0da^5)/3 2a^3.第二问,由于x^2x0d y^2=R^2对x和y有轮换对称性x0d,故∫∫∫x^2dxdydz=∫∫∫y^2dxdydzx0d,所以由柱面和两个底面构成x0d的闭曲面上的积分=∫∫∫[(x^2 y^2x0d 4)/2]dxdydz,用柱坐标计算,x0d=∫dz∫dθ∫[(r^3 4r)/2]dr（r积分限x0d0到R,θ积分限0到2π,z积分x0d限0到1）=π(R^4/4 2R^2).而两x0d个底面上的积分分别等于0和∫∫x0d2dxdy=2πR^2,所以原积分=π(Rx0d^4/4 2R^2)-2πR^2=(πR^4)/4.,6,利用高斯公式计算曲面积分,∫∫(x^3-yz)dydz-2x^2ydzdx+zdxdy,其中E为x^2+y^2=R^2
在z=0和z=1之间部分圆柱面的外侧.答案为πR^4/4