Question

求证明极限不存在

Answer 1

本题前一项极限为0是显然的，因此只需说明后一项极限不存在即可。
令f(x)=(1/x)cos(1/(2x²))
当x-->0+时，取一子列，xk=1/√(4kπ) 注： xk中的k是下标
显然当k-->+∞时，xk-->0+，
此时的函数列f(xk)=√(4kπ)*cos(2kπ)=√(4kπ)-->+∞
因此函数在x-->0的过程中至少一个子列的极限不存在，因此f(x)在x-->0时极限不存在。

Answer 2

极限不存在是x→0的方式不同，得到的极限值就不同
1 让1/(2x^2)=2nπ n→∞ 此时x=1/√(4nπ）→0
此时极限是lim (2x*0-(1/x)*1)是-∞
2让1/(2x^2)=2nπ +π/2 n→∞ 此时x=1/√(4nπ+π）→0
此时的极限是lim2x*1-(1/x)*0=+∞
两个极限值不一样（假定极限值为无穷也算极限存在的话）
所以极限不存在