Question

微积分题目 如图

Answer 1

1、∫dx/√(x¹⁴-x²)=∫dx/[x⁷*√(1-1/x¹²)]=-(1/6)∫d(1/x⁶)/√(1-(1/x⁶)²)=-(1/6)arcsin(1/x⁶)+C

2、注意：5x-2√x与积分变量t无关，
f(x)=5x-2√x-∫ [0-->1] f²(t) dt
设∫ [0-->1] f²(t) dt=a
则f(x)=5x-2√x-a
f²(x)=25x²-20x√x-10ax+4x+4a√x+a²
两边从[0,1]积分，则左边为a
a=(25/3)x³-(20*2/5)x^(5/2)-5ax²+2x²+(4*2/3)x^(3/2)+a²x [0-->1]
=25/3-8-5a+2+8/3+a²
=a²-5a+5
得：a=a²-5a+5，即a²-6a+5=0，解得：a=1或a=5
则f(x)=5x-2√x-1 或 f(x)=5x-2√x-5
因此f(1)=2 或 f(1)=-2

Answer 2

1
∫dx/√(x^14-x^2)=∫dx/[x^7*√(1-1/x^12)]=-(1/6)∫d(1/x^6)/√(1-(1/x^6)2=（-1/6）arcsin(1/x^6)+C

2
f(x)=C f(x)=(5/2)-(4/3)-C^2=C C^2-C-7/6=0 (C-1/2)^2=7/6+1/4=17/12
C=1/2+√(17/12)或 C=1/2-√(17/12)
f(1)=1/2+√(17/12)或 f(1) =1/2-√(17/12)

追问

第二题没看懂...f(x)是怎么等于 (5/2)-(4/3)-C^2=C 的？ 那个积分怎么算？

追答

谢谢提醒，第2题有误算
f(x)=∫[0,1]5x-2√x- f(t)^2dt
=[5x-2√x]*t|[0,1]-∫[0,1]f(t)^2dt
=5x-2√x -∫[0,1]f(t)^2dt ∫[0,1]f(t)^2dt=C
=5x-2√x-C
f(t)=5t-2√t-C
C=∫[0,1](5t-2√t-C)^2dt
=∫[0,1](25t^2+4t+C^2-20√t^3+4C√t-10Ct )dt
= 25/3+2+C^2-20*(2/5)+4*(2/3)C-5C
C^2-6C+8C/3+25/3+2-8=0
3C^2-10C+7=0
(3C-7)(C-1)=0
C=7/3 或C=1
f(1)=5-2-7/3=2/3 f(1)=5-2-1=2