Question

请教各位一个高数问题。

我在做多元函数极值的题目时，有一道这样的题。说一个任意三角形的周长为P，面积为S然后有式子S=根号[p(p-x)(p-y)(p-Z)]请问这个面积和周长的关系是怎么推导出来的

Answer 1

这不海伦秦九韶公式吗。。
先看海伦证法：
证明（1）
　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
　　S=1/2*ab*sinC
　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
　　设p=(a+b+c)/2
　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
再看秦九韶证法：
证明（2）：
　　q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
　　当P=1时，△ 2=q,
　　△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
　　因式分解得
　　△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]
　　=1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
　　=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
　　=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]
　　=p(p-a)(p-b)(p-c)
　　由此可得：
　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（3）
　　在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
　　O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
　　有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
　　r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r
　　∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
　　∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)
　　=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
　　=ptanA/2tanB/2tanC/2
　　=r
　　∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
　　∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)
　　=p(p-a)(p-b)(p-c)
　　∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)