Question

一个初中奥数上的染色原理问题

在一个5行5列的方格图中，先在其中任选4个方格涂成黑色，然后逐步把那些至少与两个已涂黑的方格相邻（即有公共边）的方格也涂成黑色。
证明：无论怎样选择最初的4个方格，都不能按照这样的涂黑方法涂黑所有的方格。

问题引申：在一个n行n列的方格图中，先在其中任选n-1个方格涂成黑色，然后逐步把那些至少与两个已涂黑的方格相邻（即有公共边）的方格也涂成黑色。
证明：无论怎样选择最初的n-1个方格，都不能按照这样的涂黑方法涂黑所有的方格。

这是初中奥数书上的一个染色原理问题。答案最好说的详细点，谢谢

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Answer 1

先列几个显然成立的结论：
1、若黑点全部分布在n*m的方阵中，则不可能仅通过这些点将黑点涂在n*m方阵之外。
2、为了用几个点将一个方阵涂满，一定可以找到一种排列方式，使得每个点与前面各点（包括前面各点生成的点）组成的图形均为方阵（否则一定会出现最后填不满的情况）
3、对于第n个点来说，前n-1个点分布在a*b方阵内且涂满，生成的图形最多为a*(b+2) (a+1)*(b+1) (a+2)*b中的一种，即至多只能将行数和列数之和增加2。
4、一个点只能涂满1*1的方格。
由以上4条，可得n-1个点至多只能涂满行数列数之和为2n-2的方阵，当然无法涂满n*n的方阵。

Answer 2

反证法：
设任选的4个方格涂成黑色能把所有的方格涂黑。
为了说明方便就把a行b列的方格写成ab方格
这样11格涂黑12格和21格必须已经涂黑，
12格和21格涂黑13格22格31格都必须涂黑，
13格22格31格涂黑14格23格32格41格都必须涂黑
14格23格32格41格涂黑15格24格33格42格51格都必须涂黑
也就是说必须涂黑5格才能使5行5列的方格都涂黑
这于题设矛盾
所以涂黑4格不能将所有的方格涂黑
n行n列的方格也可这样依次类推