Question

设a∈(2/3,1)，f(x)=x^3-3/2ax^2+b，x∈[-1,1]的最大值为1,最小值为-根号6/2.求fx

Answer 1

f'(x)=3x^2-3ax=3x(x-a)，a∈(2/3,1)，
所以0<x<a时f'(x)<0,f(x)是减函数；
x<0,或x>a时f'(x)>0,f(x)是增函数。
所以f(x)极大值=f(0)=b,
f(x)极小值=f(a)=-a^3/2+b,
f(-1)=-1-3a/2+b,
f(1)=1-3a/2+b,
f(a)-f(-1)=1+3a/2-a^3/2=1+(a/2)(3-a^2)>0,
f(a)>f(-1);
f(0)-f(1)=3a/2-1>0,
f(0)>f(1).
x∈[-1,1]的最大值为f(0)=b=1,
最小值为f(-1)=-1-3a/2+1=-3a/2=-√6/2，
a=√6/3，
所以f(x)=x^3-(√6/2)x^2+1.

Answer 2

f'(x)=3x^2-3ax=3x(x-a)
令f’(x)=0,得x=0,a
f(x)在[-1,0]递增，在(0,a]递减，在(a,1)递增
所以f(x)在x=0取极大值，在x=a处取极小值
f(0)=b
f(a)=-(1/2)a^3+b
f(1)=1-(3/2)a+b＜f(0)
f(-1)=-1-(3/2)a+b＜f(a)
所以
最大值b=1
最小值f(-1)=-1-(3/2)a+b=-√6/2，得a=√6/3
所以
a=√6/3
b=1
不知道算错没，方法是这样的