Question

多元方程是矩阵解吗

Answer 1

可以是矩阵解，但不是唯一。
0.2.1 多元线性方程组与矩阵及其行变换

0.2 矩阵、行列式与线性空间

一元函数的极限、微分和积分等运算得以实施的基础是实数集的完备性，多元函数的极限、微分和积分运算等也必须先考虑相应的集合是否具有类似性质。另一方面，在一元函数的极限运算中使用了绝对值概念来描述变化过程中的“靠近”程度，在多元函数的极限概念中也需要定义用于衡量“靠近程度”的概念。考虑到后续阅读的需要，本章将从多元线性方程组开始，逐步介绍矩阵和行列式概念，并介绍它们的某些运算。以矩阵作为最典型的实例，在此基础上介绍一般线性空间的概念并给出数学上的向量的定义，讨论赋范线性空间和度量空间的定义及基本性质，为后面讨论多元函数的微积分概念打下基础。

0.2.1 多元线性方程组与矩阵及其行变换

先从读者熟悉的二元一次方程组开始，这类方程组的一般形式为（以、为未知量，、、、、、为给定常数）



在的条件下，运用读者熟知的消元法可以得到这方程组的解为



对于方程组的解的几何意义，可以把它视为直角坐标系中两条直线、的交点， 意味着这两直线一定有交点，也就是方程的解。换个角度考虑，设集合和中的元素之间建立了以下对应关系：



那么方程组就可以有另一种几何意义：集合中的元素，借助对应关系刚好与集合中的元素对应，或者说的元素经过式所示变换之后，刚好变成中的元素，这样的元素就是方程组的解。

接下来考虑更复杂的集合（共个）中的元素和（共个）中的元素，它们之间也建立起类似式的对应关系，或说给定到的某种变换，显式地写出来就是



与完全类似地，可以对中某个元素写出对应的方程组，这个方程组的解（如果有的话）就是在中的那些，经过上式变换之后刚好变成的元素。

显然，式所描述的变换自身固有的那些性质，跟两个集合各自的元素用哪个代数符号来表示无关，而只与这一堆数以及它们在式中所处的具体位置有关（式中如果改动几个数的位置，所得的变换一般必然与原变换不同），这意味着研究这个变换时可以抛弃那些冗余的细节，将这一堆数及它们各自的位置从式中单独分离出来，写成如下形式



上式描述的数学对象，称为一个（矩阵元为，共有行列的）矩阵 ，记为或。矩阵包含了式所表示的变换的全部特征，研究矩阵的性质就可以得出对应的变换的性质。

矩阵和的加法定义为，矩阵与实数的乘法定义为。

特别地，可以把元素视为行1列的矩阵（这样的只有1列的矩阵称为列向量，只有1行的矩阵则称为行向量），记为，把元素视为n行1列的矩阵，记为。

从式的形式出发，定义矩阵与矩阵的乘法：



所得的结果为一个行列的矩阵，它的矩阵元为



也就是说，等于的第行各数与的第列各数（各自都有个）对应乘积的和。

容易验证，矩阵的乘法不满足交换律，也就是说，即使矩阵和的两种顺序的乘法都可以按定义实施，但也不一定等于，因此在说矩阵和相乘时必须明确指出谁在前面，谁在后面。一般把称为“左乘”或“右乘”。矩阵是本书介绍的第一个不满足读者熟知的乘法交换律的数学对象。

很容易验证，多个矩阵的乘法是满足结合律的，也即。

有了矩阵乘法的定义，就可以把式对应的方程组（把各个视为已知数）改写为，如果不需要特别指明未知数个数和方程个数，还可以进一步简化表示为。

下一步，考虑解方程组的过程（仍然把各个视为已知数），基本方法依然是消元法。不失一般性，先考虑的情况（如果，可以把其它含的方程与第个方程调换一下位置），把第个方程乘以然后加到第个方程，得到与方程组同解的另一方程组：



之后，利用所得的第2个方程（它已经不含而从开始，如果刚好那就跟那些有的方程调换一下）消去除第个方程外其它各个方程中的。如法炮制，利用这一步所得的第个方程消去除第、第个方程外其它各个方程中。这样的过程进行了若干次之后，所得的方程组一般地会有以下特征：a)第个方程含有从到的全部未知数；b)第个方程不含，第3个方程不含和，余类推。

显然方程组右边的各个也要参与上述处理过程，为了方便把矩阵视为方程组的一种等价表示，并称为方程组的增广矩阵（注意，增广矩阵右边那一列是方程组中等号右边的已知数！），简记为或，把矩阵称为的系数矩阵。

上述操作过程中，每一步所得的方程组都与原方程组同解，解方程组的过程就是在不断地对增广矩阵进行上述操作。这样的操作包括：a)矩阵的某行同时乘以一个非零实数；b)对调矩阵的某两行；c)把矩阵的某行乘以一个实数后，加到另一行上。这样的处理统称为对矩阵施行初等行变换，所得的矩阵与原矩阵描述的方程组同解，这样的关系称为两个矩阵行等价。

于是，方程组的增广矩阵会变为这样的形式：，考虑到可能的特殊情况，经过上述操作后得到的方程组的增广矩阵具有以下特征：a)如果有哪一行全0，那么它一定在非全0行的下面；b)任意相邻两行，下一行的第1个非0元一定在上一行的第1个非0元的右边。具有这样特征的矩阵称为行阶梯形矩阵。

现在考虑这个方程和个未知数之间数量的关系会对所得的增广矩阵造成什么影响。如果方程个数比未知数的数量还多，则对于第行及其以后的各行来说，除了最右边的之外，其它矩阵元都是，意味着这些行对应的方程左边全，但右边的各个却不一定都是，这就意味着方程组无解。如果刚好右边那些全部都是，就可以把这所有的扔掉而只考虑剩下的部分，意味着方程个数可以删减为与未知数个数一样多。

如果，则第行（同时也是第行）对应的方程就是，于是就首先解出了，再把它代回上一行（它只有和）就可以解出，以此类推就可以得出原方程组的唯一解。注意这里还有一种可能性，如果最后一行的但，同样意味着方程组无解。

如果，则第行对应的方程就是，这时就只能用直到表示出，然后代回上一行得出，以此类推得出直到，并且它们都是用直到表示的，这意味着方程组有无穷多组解。

到此，通过一般的多元一次方程组引出了矩阵概念，给出方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，并给出通过将增广矩阵进行初等行变换化简为行阶梯形矩阵来求解多元一次方程组的方法，以及判断方程组的解的情况的方法，可以明显看出，解多元一次方程组就是在变着法地“折腾”它的增广矩阵。