Question

怎么证明数列有界

Answer 1

奇数项等于－1，偶数项等于1，这个数列有界，但是不收敛，下面是收敛一定有界的证明

目的是证明收敛数列的有界性。 数列{Xn}收敛到a，根据极限定义对于任意E＞0, 存在正整数N，当n＞N，不等式/Xn-a/＜E都成立，此处E可以选为1。直观地想就是当n趋于无穷的时候，Xn的值无限接近a，为了准确描述这一性质，引入了N。当n>N时，所有的Xn都有上限，都要小于E+|a|。就是Xn无限接近a，在n>N之后，所有Xn都小于a加上个正数（E）。到此证明了从N开始，数列都是有界的（都小于E+|a|）。下面要证明n<=N的时候数列也得有界（X1, X2.....,XN，显然对于任意m, Xm<=|Xm|，所以对于所有n<=N，取其绝对值，并和刚才的E+|a|并为一个集合。N之前所有的Xn，都小于等于自身绝对值，N之后所有Xn都小于E+|a|。取该集合最大值为M，对于全部Xn来说，必然都小于这个值。最后，对于数列Xn, 确实存在M，对所有n, Xn<M，收敛数列必有界。