Question

什么是极限，如何证明极限的存在性。

Answer 1

这个问题，看上去是一个小问题，很多学生一看问题，便会自以为是、好为人师地信口开河。其实这是一个大问题，涉及到数学、科学、哲学、文化、宗教学、民族学、科学学等问题。写深了，会成为众矢之的，会成为民族罪人，会死无葬身之地。

下面的一段本人感悟，供楼主参考，有疑问时，欢迎追问，欢迎讨论，欢迎批判，以期抛砖引玉之效。

下面针对本题具体解说：

1、极限的最早萌芽概念，我们祖先也有过，但是被当成诡辩学而埋葬了。
时至今日，仍有绝大多数数学教师，一提到诡辩学，立马教条式地彻
底否认，没有思辨的任何理性空间。

2、鬼子的祖先，也有诡辩学，他们认认真真地研究了paradox，由此而
建立了极限理论。极限理论是桥梁，桥的这边是初等数学，桥的那边
是微积分，是高等数学。我们的理论贡献局限在桥这边，桥那边的理
论世界的建设，我们几乎完全是手无寸功，我们在科研上的落后就是
从这里开始的。

3、极限的理论究竟是什么呢？

第一，极限的证明理论

这就是我们的大学新生大学伊始时，兴致勃勃地心情遇到的第一记沉重
的闷棍。极限的理论，其实是吵架的理论，是无止境争辩的过程，也是
无穷列举法的理论化过程。例如：
(1)、我说当 x 无限趋向于 2 时，x² 就无限趋近于 4。
(2)、你不信，你要我证明给你看。
(3)、我说，那你随便给一个很小的数，你给了0.5。
(4)、我通过计算，我说只要 x = 2.10 就行。
(5)、你反悔了，改成了0.4。
(6)、我重新计算了一下，我说只要 x = 2.09 就行。
(7)、你又反悔，又改成了0.3。
(8)、我又重新计算，我说只要 x = 2.07 就行。
(9)、你再次反悔，再改成0.2。
(10)、我再次计算，我说只要 x = 2.04 就行。

、、、、你不断地反悔，不断地提出越来越苛刻的数据，我也不断地计算，
不断给出越来越接近于2的具体数，也就是越来越限制了 x 趋近于 2 的程
度、、、、、

结果我们都厌烦了。

(11)、我说，别闹了，你给出一个可以表示很小很小的象征性的数字吧。
(12)、你给出了一个代号 ε。
(13)、我根据你的代号 ε，经过一番计算，找到了另外一个数字代号 δ。
我对你说，你自己随便找一个跟 2 的差距不大于 δ 的数就可以了。
算了，算了，我把计算公式也给你吧，你自己出 ε，自己去找 δ，
这样你还有什么话说？

争吵就这样结束了，无穷列举法，就变成了一个理论计算过程，结果就得到了证明。

这个证明逻辑思路是：

只要你给得出一个无论多小的数，ε；
我就能根据你的 ε，算出一个 δ ；
只要将x 的取值，限制在 δ 的范围内，函数值与极限值之差就小于 ε。
由于 ε可以任意的小，两者之差可以无止境的小下去，就证明了极限。

δ 是根据 ε 算出的，我算出一个δ，你可以用比我更小的 δ 限制 x 的范围，
所以，ε是任给的，δ 是根据 ε 推算的，但 δ 不是唯一的，可以有无数个
更严格的、更小的值。所以说，总存在一个 δ，但是这个 δ，必须由我们
去根据 ε找出来。

第二、极限的计算
微积分的前面部分，就是寻找各种计算方法，最典型的是罗毕达法则。

第三、极限的运用
可以说极限是微积分理论的基础部分，也可以说，微积分是极限理论的运用部分。
谁归属于谁，就看你怎么划分了。

如果你不能明白极限的理论证明方法，
那么，我们得恭喜你！你真正理解了我们传统的优秀数学史，到了近代数学时，
怎么突然落后了、落伍了。当代理论，我们没有参与建立，迄今为止，我们还
处于三流开外。你没有明白，不能明白，说明你穿越了，体会到了我们古人的
局限性。

如果你明白了极限的理论证明方法，
那么，我们得祝贺你！你真正开始领略到了现代数学、现代科学的真谛。体会
到了我们传统的、定性的、摇头晃脑的、模棱两可的、之乎者也的、不求甚解
的、咋咋呼呼大大咧咧的学风，跟现代数学、现代科学、现代医学、、、、、
之间的鸿沟是多么得深，多么得广，多么得不可同日而语，多么得悲从中来。
你明白了，说明你突破了我们古人的局限。