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二重积分的计算方法
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1、∫ [π/2-->3π/4]dθ ∫[2sinθ-->2/sinθ] r²sinθ dr+∫ [3π/4-->π]dθ ∫[2sinθ-->-2/cosθ] r²sinθ dr
2、y=2x对应的角度θ=arctan2
∫ [π/4-->arctan2]dθ ∫[0-->2/sinθ] (r²-rcosθ)rdr
2、y=2x对应的角度θ=arctan2
∫ [π/4-->arctan2]dθ ∫[0-->2/sinθ] (r²-rcosθ)rdr
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追问
忘了跟你说了，这个不是转换为极坐标，你看题目
追答
惯性定律，以为还是极坐标的问题呢。
1、先积x，
∫[0-->2]dy∫[-2-->-√(2y-y²)] ydx
=∫[0-->2] y(2-√(2y-y²)) dy
=∫[0-->2] 2ydy-∫[0-->2] y√(2y-y²) dy
=y² |[0-->2] - ∫[0-->2] y√(1-(y-1)²)dy
=4-∫[0-->2] y√(1-(y-1)²)dy
令y-1=sinu，则√(1-(y-1)²)=cosu，dy=cosudu，u：-π/2-->π/2
=4-∫[-π/2-->π/2] (sinu+1)cos²udu
sinucos²u是奇函数，对称区间上的积分为0
=4-∫[-π/2-->π/2] cos²udu
=4-2∫[0-->π/2] cos²udu
下面可直接降幂计算，我换个方法，这个方法也是常用的一个化简计算的方法
=4-∫[0-->π/2] cos²udu-∫[0-->π/2] sin²udu 原因是f(sinx)与f(cosx)在0-->π/2的积分相等
=4-∫[0-->π/2] 1du
=4-π/2
2、先积x
∫[0-->2]dy∫[y/2-->y] (x²+y²-x)dx
=∫[0-->2] (1/3x³+xy²-1/2x²) |[y/2-->y] dy
=∫[0-->2] (19/24y³-3/8y²) dy
=(19/96y⁴-1/8y³) [0-->2]
=19/6-1
=13/6
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