Question

高等数学 关于间断和连续的问题

有2个问题
1==================
关于选项C 我有点疑问 错误选项C若修改的话　
正确情况是 f(φ(x)) 可能连续 还是 f(φ(x))肯定连续？

我是这样想的　：题目中说道了 φ(x) f(x) 的定义域都是(-∞,+∞)
所以φ(x) 的间断不是由于定义域的缺口 所以不论 φ(x)取什么值 值域肯定在f(x)的定义域中 故f(φ(x)) 是肯定连续的 对吗？

2================
如果条件换成 φ(x)的定义域 是 (-∞,a)(a,+∞)
那么是不是说 在 (-∞,+∞) 上 f(φ(x)) 肯定不连续？

Answer 1

1.φ(x) ，f(x) 的定义域都是(-∞,+∞) ，f(φ(x)) 可能连续
如 （1） f（x）=| x |，φ(x)= x+1 (x>0) ，φ(x)= x-1 (x<0) ，φ(0)=1 ，
x=0是φ(x)的跳跃间断点，f(φ(0)) =1，
x趋于0+， lim f(φ(x)) = 1， x趋于0-， lim f(φ(x)) = 1， f(φ(x))在x=0 处连续
（2） f（x）=x，φ(x)=1/x (φ(0)=1) ，x=0是φ(x)的无穷间断点，而f(φ(0)) =1
x趋于0+， lim f(φ(x)) = +∞ ； x趋于0 -，lim f(φ(x)) = -∞ ，x=0是f(φ(x)) 无穷间断点
（3） f（x）=x，φ(x)=x^2 (φ(0)=1)，x=0是φ(x)的可去间断点，而f(φ(0)) =1
x趋于0+， lim f(φ(x)) = 0， x趋于0-， lim f(φ(x)) = 0，x=0为 f(φ(x)) 的可去间断点
（4） f（x）=x，φ(x)= x+1 (x>0) ，φ(x)= x-1 (x<0) ，φ(0)= 0，
x=0是φ(x)的跳跃间断点，f(φ(0)) =0，
x趋于0+， lim f(φ(x)) = 1， x趋于0-， lim f(φ(x)) = -1，x=0为 f(φ(x)) 的跳跃间断点
由以上可知：φ(x)， f(x) 的定义域都是(-∞,+∞) ，f(x)在(-∞,+∞)上连续 ，φ(x)有间断点x=x0，
若f(φ(x)在x=x0处不连续，f(φ(x)和φ(x)在x=x0处的间断点类型一致。

2. φ(x)的定义域 是 (-∞,a)(a,+∞)，f(φ(x)) 可能连续
（1）f（x)= x ，φ(x ) =| x | (x≠0) ，φ(x)的定义域 是 (-∞,0)(0,+∞)，
值域(0,+∞)，f(φ(x))在(0,+∞)上连续；
（2）f（x）=x，φ(x)=1/x ，φ(x)的定义域 是 (-∞,0)(0,+∞)，f(φ(x))在x=0处不连续
（3）f（x）=x，φ(x)=x (x≠1) ，φ(x)的定义域 是 (-∞,1)(1,+∞)，f(φ(x))在x=1处不连续

Answer 2

1. f(φ(x)) 可能连续
举个例子f（x）=x，φ(x)=x，x≠0，此时f(φ(x)) 在x=0点不连续
2.答案还是 f(φ(x)) 可能连续
把a换成0
举个例子f（x）=x，φ(x)=x，x>0，φ(x)=-x,x<0,
由于φ(x)值域是（0，+∞），此时函数图象和f(φ(x))=x，x>0一样
x在定义域 (-∞,0)(0,+∞)连续

Answer 3

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