Question

在数列{an}中,首项a1=1,a(n+1)=an+n/(2^n),(n属于正整数)，则通项公式an=

Answer 1

根据已知条件a(n+1)=a(n)+n/(2^n)，当n≥2时，可得
a(n)=a(n-1)+(n-1)/[2^(n-1)]
a(n-1)=a(n-2)+(n-2)/[2^(n-2)]
……
a(3)=a(2)+2/(2²)
a(2)=a(1)+1/2
上面式子的左右分别相加，消去相同的项，则
a(n)=a(1)+1/2+2/(2²)+3/(2³)+…+(n-1)/[2^(n-1)]+n/(2^n)
=1+1/2+2/(2²)+3/(2³)+…+(n-1)/[2^(n-1)]+n/(2^n)
同理，
2a(n)=2+1+2/2+3/(2²)+4/(2³)+…+(n-1)/[2^(n-2)]+n/[2^(n-1)]
上面的两个式子相减，则
a(n)=2+1/2+1/2²+1/2³+…+1/[2^(n-1)]-n/(2^n)
=2+1-1/[2^(n-1)]-n/(2^n)
=3-(n+2)/(2^n)，其中n≥2。

由于当n=1时，a(1)=1
根据题目的递推式求得 a(2)=a(1)+1/2=3/2
a(3)=a(2)+2/(2^2)=3/2+1/2=2
但是用求出的通项公式求得的为 a(2)=3-4/4=2
因此，递推式的n与求出的n差了1，请您自己检验一下吧~~

Answer 2

解：由a<n+1> = a<n> + n/(2^n)，得
a<n+1> - a<n> = n/(2^n)

同理可得，
a<n> - a<n-1> = (n-1) /[ 2^(n-1)]
a<n-1> - a<n-2> = (n-2) /[ 2^(n-2)]
a<n-2> - a<n-3> = (n-3) /[ 2^(n-3)]
…………
a2 - a1 = 1 /(2^1)

上述n-1条等式相加，得
a<n> - a1 = (n-1) /[ 2^(n-1)] + (n-2) /[ 2^(n-2)] + (n-3) /[ 2^(n-3)] + …… + 1/2
而，a1 = 1
∴a<n> = (n-1) /[ 2^(n-1)] + (n-2) /[ 2^(n-2)] + (n-3) /[ 2^(n-3)] + …… + 1/2 + 1

【评价】
化简到这一步我不会继续化简了，看哪位高人还有更好的答案吧。不过照这样写估计老师也不会说错吧O(∩_∩)O