Question

F1、F2是椭圆4x²+5y²=20的两个焦点，过F1作倾斜角为45°的弦AB，求AB，△F2AB的面积和周长

Answer 1

x^2/5+y^2/4=1,
因是经过焦点弦，可用焦点弦公式，
a= √5，b=2,c=1,e=c/a=√5/5，
|AB|=(2b^2/a)/[1-e^2(cos45°）^2]
=(2*2^2/√5）/[1-（√5/5）^2/(√2/2）^2]
∴|AB|=16√5/9，
当然也可以用韦达定理，一般弦长公式去解。
x^2/5+(x+1)^2/4=1,
9x^2+10x-15=0,
x1+x2=-10/9,
x1x2=-5/3,
|AB|=√（1+1）[（x1+x2)^2-4x1x2]=√[2*（100/81+20/3）=16√5/9。

F1(-1,0),F2(1,0),
弦方程：y=x+1,x-y+1=0,
根据点线距离公式，
F2至弦AB距离，d=|1-0+1|/√（1+1）=√2，
∴S△F2AB=|AB|*d/2=(16√5/9)*√2/2=8√10/9。
根据椭圆定义，|AF1|+|AF2|=2a=2√5，
|BF1|+|BF2|=2a=2√5,
∴△F2AB周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2=4a=4√5。