Question

特征值和特征向量

求特征值和特征向量 3/2 -1/2 0
-1/2 3/2 0
0 0 3

Answer 1

解: |A-λE|=
3/2-λ -1/2 0
-1/2 3/2-λ 0
0 0 3-λ

= (3-λ)[(3/2-λ)^2 - (1/2)^2)]
= (3-λ)(2-λ)(1-λ)

所以A的特征值为1,2,3

1 -1 0
A-E --> 0 0 1
0 0 0
A的属于特征值1的特征向量为 k1(1,1,0)^T, k1为任一非零数.

1 1 0
A-2E --> 0 0 1
0 0 0
A的属于特征值2的特征向量为 k2(1,-1,0)^T, k2为任一非零数.

1 0 0
A-3E --> 0 1 0
0 0 0
A的属于特征值3的特征向量为 k3(0,0,1)^T, k3为任一非零数.

追问

k1 k2 k3 是 什么意思 答案上写的是根号2分之1 这个数字是怎么来的

追答

k1 k2 k3 是任意常数
若α是A的属于λ的特征值, 则 kα (k≠0) 也是A的属于λ的特征值.

根号2分之1 应该是向量单位化得到的, 但你的题目并无此要求

追问

那求正交相似标准形 是怎么个情况

追答

那要正交化(单根时不需要)和单位化

追问

那就是求正交相似标准形 这个根号2分之1 是怎么求出来的 正交化 单位化 不太懂 求具体过程

追答

这个简单呀, 你应该看看书, 这里不好打字的
比如属于特征值1的线性无关的特征向量为 α1=(1,1,0)^T
它的所有分量的平方和是向量长度的平方
它乘它的长度的倒数即单位化
所以得 (1/√2, 1/√2,0)^T.
其它类似.

这里不需要正交化
正交化看书中Schimidt 正交化过程