怎样解二次函数?

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a幼稚园杀手
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可设函数为y=ax^2+bx+c(a≠0),把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。二、知道函数图象与x轴的交点坐标及另一点函数上的点 可设函数为y=a(x-x₁)(x-x₂),把第一个交点的x值入x₁中,第二个交点的x值代入x₂中,把另一点的值代入x、y中求出a。

设ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)   两个根为X₁和X₂   则X₁+X₂= -b/a   X₁·X₂=c/a   例:已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10),设y=a(x-1)^2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)^2+2   四、牛顿插值公式y=(y₃(x-x₁)(x-x₂))/((x₃-x₁)(x₃-x₂)+(y₂(x-x₁)(x-x₃))/((x₂-x₁)(x₂-x₃)+(y₁(x-x₂)(x-x₃))/((x₁-x₂)(x₁-x₃)。由此可引导出交点式的系数a=y₁/(x₁·x₂)(y₁为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

一般式
  y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点式
  y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
交点式
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x₁,0)和 B(x₂,0)的抛物线,即b^2-4ac≥0]

 由一般式变为交点式的步骤:
二次函数(16张)  ∵X₁+x₂=-b/a x1·x₂=c/a   ∴y=ax^2+bx+c   =a(x₂+b/ax+c/a)   =a[﹙x₂-(x₁+x₂)x+x₁x₂]=a(x-x₁)(x-x₂)   重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
编辑本段二次函数与X轴交点的情况
  当△=b^2-4ac>0时, 函数图像与x轴有两个交点。   当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。   当△=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
编辑本段求根公式
求根公式
  x是自变量,y是因变量,y是x的二次函数   x1,2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a   (即一元二次方程求根公式)(如右图)   求根的方法还有因式分解法和配方法

图像
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,   可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。   注意:草图要有 :   1. 本身图像,旁边注明函数。   2. 画出对称轴,并注明直线X=什么 (X= -b/2a)   3. 与X轴交点坐标 (x1,y1);(x2, y2),与Y轴交点坐标(0,c),顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
  1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a   对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。   特别地,当h=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)   a,b同号,对称轴在y轴左侧   b=0,对称轴是y轴   a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
  二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )   当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²;+k   h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a
开口
  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。   当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。   |a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。   当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号   当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号   可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。   事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的   斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。   二次函数图像与y轴交于(0,C)   注意:顶点坐标为(h,k) 与y轴交于(0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
  a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。   k=0时,二次函数图像与x轴有1个交点。   a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。   当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymix=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k   当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymix=k,在x>h范围内是增函数,在x<h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k   当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数
特殊值的形式
  7.特殊值的形式   ①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k   ②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k   ③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k   ④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k
二次函数的性质
  8.定义域:R   值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)   奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 。   周期性:无   解析式:   ①y=ax^2+bx+c[一般式]   ⑴a≠0   ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;   ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b²)/4a);   ⑷Δ=b2-4ac,   Δ>0,图象与x轴交于两点:   ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);   Δ=0,图象与x轴交于一点:   (-b/2a,0);   Δ<0,图象与x轴无交点;   特殊地,Δ=4,顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形;Δ=12,顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。   ②y=a(x-h)2+k[顶点式]   此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a   ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)   对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X   的增大而减小   此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连   用)。   交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。   增减性   当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反   当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反
编辑本段两图像对称
  对于一般式:   ①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称   ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称   ③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称   ④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。   对于顶点式:   ①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称,即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同。   ②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称,即顶点(h,k)和(h,-k)关于y轴对称,横坐标相同,纵坐标相反。   ③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称,即顶点(h,k)和(h,k)相同,开口方向相反。   ④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称,即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称,横坐标相反,纵坐标相反。   (其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)
编辑本段二次函数与一元二次方程
  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,   当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),   即ax^2+bx+c=0   此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。   函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。   1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2;+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:   解析式 顶点坐标 对 称 轴   y=ax^2(0,0) x=0   y=ax^2+K (0,K) x=0   y=a(x-h)^2(h,0) x=h   y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h   y=ax^2+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a      当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,   当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。   当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象   当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k<0)的图象   当h<0,k>0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k>0)的图象   当h<0,k<0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k(h<0,k<0)的图象   在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。   因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。   2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)。   3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小。   4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:   (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);   (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣(a绝对值分之根号下△)另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标)   当△=0.图象与x轴只有一个交点;   当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。   5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。   顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。   6.用待定系数法求二次函数的解析式   (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:   y=ax^2+bx+c(a≠0)。   (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0)。   (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
yshnsh
2016-05-13 · 知道合伙人教育行家
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知道合伙人教育行家
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  求解二次函数,通常是先设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c(a≠0),然后根据已知条件,代入解析式,列出关于a,b,c的方程,求出a,b,c的值,就可以确定二次函数的解析式了。
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