Question

已知函数f(x)=√(1-x^2),证明:函数f(x)在【-1,0】为增函数,并判断它在【0,1】上的

已知函数f(x)=√(1-x^2),证明:函数f(x)在【-1,0】为增函数，并判断它在【0，1】上的单调性

Answer 1

1.1）利用定义证明
f(x)=√(1-x^2), -1<=x<=1
设-1<x1<x2<0
f(x1)-f(x2)= √(1-x1^2) - √(1-x2^2)
分子分母同时乘以 √(1-x1^2) + √(1-x2^2) > 0
f(x1)-f(x2) =（ x2^2 - x1^2）/（√(1-x1^2) + √(1-x2^2)）
0<x1<x2<1 ，x2^2 < x1^2 ，f(x1) < f(x2)
由定义f(x)在【-1,0】为增函数；

2）f(x)=√(1-x^2)为[-1,1]上的偶函数，偶函数对称区间上的单调灶颤性相反，故f(x)在【升基-1,0】为减函数

2.导数证明
f '(x) = (-x)/√(1-x^2) ，隐笑败x属于【-1,0】，f '(x) > 0 ，f(x)在【-1,0】为增函数
余问同上

Answer 2

设0<隐皮x1<x2<1 那么x2-x1>0
又设t=√(1-x1^2)+√(1-x2^2), 则t>0
f(x1)-f(x2)=[(1-x1^2)-(1-x2^2)]/t=(x1+x2)(x2-X1)/t>0
所以f(x)在(0,1)上是单衫携和调递减。

同理可证：f(x)在(-1，0)上是或盯单调递增。