Question

求高手帮忙解一道初二数学题啊！！！不会请不要回答与问题无关紧要的

阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾研究过这样一个问题：1+2+3+...+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+...+n=1/2n（n+1），其中是n正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+...+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=1/3（1×2×3-0×1×2） 2×3=1/3（2×3×4-1×2×3）
3×4=1/3（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
1×2×3+2×3×4+...+n（n+1）（n+2）=________________

这是八年下北师大版名师伴读上的题，答案是1/4n（n+1）（n+2）（n+3），可我不知道解题过程，大侠们帮帮忙啊！！！

Answer 1

1×2×3=1/4（1×2×3×4 - 0×1×2×3) （1)
2×3×4=1/4 (2×3×4×5 - 1×2×3×4） (2)
3×4×5=1/4 (3×4×5×6 - 2×3×4×5） (3)
………………………………
n(n+1)(n+2)=1/4 (n（n+1）（n+2）（n+3）- (n-1)n（n+1）（n+2） (n)
(1)+(2)+(3)+…+（n)得
所以：1×2×3+2×3×4+...+n（n+1）（n+2）=1/4 n（n+1）（n+2）（n+3）

追问

为啥都乘1/4呀，就这不懂

追答

（1）式中、（1×2×3×4 - 0×1×2×3) 这个式子等于 1×2×3 时，必须乘1/4呀

Answer 2

1×2×3=1/4（1×2×3×4 - 0×1×2×3)
2×3×4=1/4 (2×3×4×5 - 1×2×3×4）
3×4×5=1/4 (3×4×5×6 - 2×3×4×5）
………………………………
n(n+1)(n+2)=1/4 (n（n+1）（n+2）（n+3）- (n-1)n（n+1）（n+2）
竖式相加，并注意到式子右面的项可以斜消：
所以：1×2×3+2×3×4+...+n（n+1）（n+2）=1/4 n（n+1）（n+2）（n+3）

追问

1×2×3=1/4（1×2×3×4 - 0×1×2×3)这步咋得的呀，是分解因式还是怎么着？

追答

你从右向左推：1/4 (2×3×4×5 - 1×2×3×4）=1/4 (2×3×4)(5 - 1)=2×3×4
1/4 [n（n+1）（n+2）（n+3）- (n-1)n（n+1）（n+2）]
=1/4 [n（n+1）（n+2）][（n+3）- (n-1)]=n(n+1)(n+2)
每一个式子都是一样的。

Answer 3

1×2×3=1/4（1×2×3×4-0×1×2×3） 2×3×4=1/4（2×3×4×5-1×2×3×4）
3×4×5=1/4（3×4×5×6-2×3×4×5） n（n+1）（n+2）=1/4[n（n+1）（n+2）（n+3）-(n-1)（n+1）（n+2）（n+3）,
所以
1×2×3+2×3×4+...+n（n+1）（n+2）=1/4n（n+1）（n+2）（n+3）
其余全抵消了。

追问

太棒了，你是怎么想的啊。（如果没有答案）

Answer 4

因为1×2×3=1/4（1×2×3×4 - 0×1×2×3)
2×3×4=1/4 (2×3×4×5 - 1×2×3×4）
3×4×5=1/4 (3×4×5×6 - 2×3×4×5）
n(n+1)(n+2)=1/4 (n（n+1）（n+2）（n+3）- (n-1)n（n+1）（n+2）
竖式相加，式子右面的项可以斜消：
所以：1×2×3+2×3×4+...+n（n+1）（n+2）=1/4 n（n+1）（n+2）（n+3）
这个初三导航上也有

Answer 5

1*2+2*3+3*4+4*5+........+N*n+1=1/3*5*5+5*6+............