Question

已知{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,其中a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,且存

已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2，3a5＝b3，且存在常数α，β使得对每一个正整数n都有an＝logαbn＋β，则α＋β＝

Answer 1

设{an}的公差为d，,{bn}的公比为q，则有
a2=3+d=q=b2
3a5=3(3+4d)=q^2=b3
解方程得q=3,q=9，当q=3时，d=0，不符合题意，故舍去；当q=时，求得d=6。
故an=3+（n-1）*6=6n-3；
bn=1*q^(n-1)=9^(n-1)=3^(2n-2)
n=1
6-3=logα3^(0)+β
β=3
n=2
12-3=logα3^(2)+3
α=3^(1/3)

α＋β＝3^(1/3)+3

Answer 2

设{an}的公差为d，,{bn}的公比为q，则有
a2=3+d=q=b2
3a5=3(3+4d)=q^2=b3
解方程得q=3,q=9，当q=3时，d=0，不符合题意，故舍去；当q=时，求得d=6。
故an=3+（n-1）*6=6n-3；
bn=1*q^(n-1)=9^(n-1)=3^(2n-2)
因an＝logαbn＋β,所以6n-3=logα3^(2n-2)＋β,α=3,β=4n-1,
α＋β＝3+4n-1=4n+2