Question

设函数f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6在区间[1,3]上是单调函数,则实数a的取值范围是?(注:求解题过程)

Answer 1

f'(x)=x²+2ax+5
∵f（3）在（1，3）上为单调函数，∴f'(x)≤0或f’（x）≥0在（1，3）上恒成立。
令f'(x)=0即x²+2ax+5)=0 则a=-（x²+5）/2x
设g(x)=-（x²+5）/2x 则g’（x）=（5-x²）/2x²
令g’（x）=0得：x=√5或x=-√5（舍去）
∴当1≤x≤√5时，g’（x）≥0，当√5≤x≤3时，g’（x）≤0
∴g（x）在(1,√5）上递增，在（√5，3）上递减,
g（1)=-3 g(3)=-7/3,g(√5）=-√5
∴g(x)的最大值为g(√5）=-√5，最小值为g（1)=-3
∴当f'(x)≤0时，a≤g(x)≤g（1)=-3
当f’（x）≥0时，a≥g(x)≥g(√5）=-√5
∴a≤-3或a≥-√5

Answer 2

f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6
求导
f'(x)=x²+2ax+5
在区间[1,3]上是单调函数
当在这个区间上不为单调函数的时候
f'(1)*f'(3)<0
(1+2a+5)(9+6a+5)<0
(2a+6)(6a+14)<0
(a+3)(3a+7)<0
得
-3<a<-7/3
所以
是单调函数的时候a的范围
a≤-3 或 a≥-7/3

Answer 3

f'(x)=x^2+2ax+5
函数在区间(1，3)上单调递增，即f'(x)在(1,3)上>0，也就是当1<x<3时，x^2+2ax+5>0成立。
令g(x)=x^2+2ax+5
g(x)=(x+a)^2+5-a^2
对称轴x=-a
分类讨论：
-a≤1时，即a≥-1时，g(x)在(1，3)上单调递增，要不等式成立，则g(1)≥0
1+2a+5≥0 a≥-3 又a≥-1 得a≥-1
-a≥3时，即a≤-3时，g(x)在(1，3）上单调递减，要不等式成立，则g(3)≥0
9+6a+6≥0 a≥-2.5(舍去)
1<-a<3时，即-3<a<-1时，函数顶点在(1,3)上，当x=-a时，函数取得最小值5-a^2，要不等式成立，则5-a^2>0
5-a^2>0 -√5<a<√5，又-3<a<-1，可得-√5<a<-1
综上，得a的取值范围为(-√5，+∞)

Answer 4

f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6=》
f'(x)=x²+2ax+5
求x²+2ax+5在[1,3]无零点
所以x²+2ax+5>=0
化为a>=-（5+x²）/2x =>求在[1,3]最大值
所以a≥-7/3
当x²+2ax+50≤0时 =》
a≤-3

Answer 5

f(x)=1/3x^3+ax^2+5x+6=》
f'(x)=x²+2ax+5
求x²+2ax+5在[1,3]无零点
所以x²+2ax+5>=0
化为a>=-（5+x²）/2x =>求在[1,3]最大值
所以a≥-7/3
当x²+2ax+50≤0时 =》
a≤-3