Question

1+x+x^2+x^3+…x^2020=0,x^2021=多少？

Answer 1

将等式左侧的无穷级数看成一个函数，记为 f(x)：
f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^2020
要求解的是 x^2021，可以尝试将其表示为 f(x) 的函数值：
x^2021 = x × x^2020 = x × f(x) - x^2020
由于 f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^2020，因此：
x × f(x) = x + x^2 + x^3 + ... + x^2021
将其代入上式，得到：
x^2021 = x + x^2 + x^3 + ... + x^2021 - x^2020
移项，得到：
x^2021 - x^2020 - x - 1 = 0
因此，
x^2021 = x^2020 + x + 1
由于等式左侧的无穷级数是一个等比数列，公比为 x，因此：
f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^2020 = (x^2021 - 1) / (x - 1)
因为 x ≠ 1，所以可以将其代入上式，解得：
x^2021 = x^2020 + x + 1 = f(x) × x + x + 1 = 0 × x + x + 1 = x + 1
因此，x^2021 的值为 x + 1。