Question

求过两点(1,2,3 ),(2,2,1),且垂直于平面 x-4y3z=0 的平面方程

Answer 1

首先，我们需要找到过这两点的法向量。法向量垂直于平面的方程，所以我们可以通过计算这两个点之间的向量积来得到法向量的分量。
设法向量为N = (a, b, c),那么：
1 * a + 2 * b + 3 * c = 02 * a + 2 * b + 1 * c = 0
解这个方程组，我们可以得到：
a = 3b = -4c = 5
所以法向量 N = (3, -4, 5)。现在我们需要找到一个点 P 在平面上，使得 N · (1, 2, 3) = 0。为了找到这个点，我们可以将 N 乘以 (1, 2, 3):
(3, -4, 5) * (1, 2, 3) = (3, -8, 15)
为了使点 P 在平面上，我们需要将这个向量与原点相加：
P = (3/1, -8/2, 15/3) = (3, -4, 5)
所以过这两点的且垂直于平面 x-4y3z=0 的平面方程为：
x - 4y + z = 0

Answer 2

求过两点A(1,2,3 ),B(2,2,1),且垂直于平面 x-4y+3z=0 的平面方程.
解：向量AB=(2,2,1)-(1,2,3)=(1,0,-2),
平面 x-4y+3z=0 的法向量为a=(1,-4,3),
设所求平面的法向量为b=(m,n,1),则
向量AB*b=m-2=0,
a*b=m-4n+3=0,
解得m=2,n=5/4,
所以所求平面方程是8(x-1)+5(y-2)+4(z-3)=0,即8x+5y+4z-30=0,