Question

1.求xy=1,x=2与y=x所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体体积 2.求微分方程y'+3x^2

Answer 1

• 首先，我们可以将两个方程联立解得y=1/2，x=4。因此，所求图形为x轴上从2到4的线段绕x轴旋转而成的圆柱体。圆柱体的底面半径为2，高为2，因此体积为V=πr^2h=4π。

• 题目中给出的微分方程为y'+3x^2，这是一个一阶线性非齐次微分方程。我们可以使用常数变易法来求解。

首先，将方程变形为y'+3x^2=0，解得y=ce^(-∫3x^2dx)，其中c为任意常数。由于∫3x^2dx=x^3，因此y=ce^(-x^3)。

然后，我们使用常数变易法，设y=ue^(-x^3)，其中u为待定函数。对y求导得y'=(u'-3x^2u)e^(-x^3)，将y'和y代入微分方程中得(u'-3x^2u)e^(-x^3)+3x^2ue^(-x^3)=0，化简得u'=0，因此u=c。

因此，原微分方程的通解为y=c*e^(-x^3)，其中c为任意常数。