Question

e的x次方-lnx的最小值大于等于(a-1)x+lna求a的范围

Answer 1

首先，我们可以对于 $e^{x} - \ln(x)$ 求导数：
$$\frac{d}{dx}(e^{x} - \ln(x)) = e^{x} - \frac{1}{x}$$
令导数等于 $0$，可以得到：
$$e^{x} = \frac{1}{x}$$
求解上式，可以得到 $x = 1$。因此，$e^{x} - \ln(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值。
现在，我们需要证明：
$$e^{x} - \ln(x) \geq (a-1)x + \ln(a)$$
对于 $x \leq 1$，由于 $\ln(x) \leq 0$，因此：
$$e^{x} - \ln(x) \geq e^{x} \geq a^{x} \geq (a-1)x + \ln(a)$$
对于 $x > 1$，我们可以根据前面的导数分析可知，$e^{x} - \ln(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值，因此：
$$e^{x} - \ln(x) \geq e - \ln(1) = e$$
而 $(a-1)x + \ln(a) \leq ax \leq e$ 当且仅当 $a \leq \frac{e}{x} + \frac{1}{x\ln(a)}$，因此，当 $a$ 满足以下不等式时，原式成立：
$$a \leq \frac{e}{x} + \frac{1}{x\ln(a)}$$
我们可以将上式写成 $ax\ln(a) - ex + 1 \leq 0$ 的形式，然后求解不等式的解集，即可得到 $a$ 的范围。
令 $f(a) = ax\ln(a) - ex + 1$，我们可以对其求导数：
$$\frac{df}{da} = x\ln(a) + \frac{ax}{a} = x(\ln(a) + 1)$$
令导数等于 $0$，可以得到 $a = e^{-1}$，因此 $a$ 的范围是 $a \in [e^{-1}, \infty)$。
接下来，我们需要证明当 $a \in [e^{-1}, \infty)$ 时，原式成立。
对于 $a=e^{-1}$，我们有：
$$e^{x} - \ln(x) \geq -x - \ln(e^{-1}) = -x + 1$$
而 $-x + 1 \geq (a-1)x + \ln(a)$ 当 $a=e^{-1}$ 时成立，因此，当 $a=e^{-1}$ 时，原式成立。
对于 $a > e^{-1}$，令 $g(x) = e^{x} - \ln(x) - (a-1)x - \ln(a)$，则 $g'(x) = e^{x} - \frac{1}{x} - (a-1)$，令 $g'(x) = 0$，可以得到：
$$x = \frac{1}{a-1}$$
又因为 $g''(x) = e^{x} + \frac{1}{x^2} > 0$，所以 $x = \frac{1}{a-1}$ 是 $g(x)$ 的最小值点。
将 $x = \frac{1}{a-1}$ 代入 $g(x)$，可以得到：
$$g\left(\frac{1}{a-1}\right) = e^{\frac{1}{a-1}} - \ln\left(\frac{1}{a-1}\right) - a + a\ln(a) - \ln(a) - \frac{1}{a-1}$$
令 $h(a) = a\ln(a) - a + \ln(a)$，则：
$$g\left(\frac{1}{a-1}\right) = e^{\frac{1}{a-1}} - \ln\left(\frac{1}{a-1}\right) - h(a) - \frac{1}{a-1}$$
对于 $a > e^{-1}$，显然 $h(a) > 0$，因此 $g\left(\frac{1}{a-1}\right) > e^{\frac{1}{a-1}} - \ln\left(\frac{1}{a-1}\right) - \frac{1}{a-1}$。
令 $f(x) = e^{x} - \ln(x) - \frac{1}{x}$，则 $f'(x) = e^{x} - \frac{1}{x^2}$，令 $f'(x) = 0$，可以得到 $x = 1$。
由于 $f''(x) = e^{x} + \frac{2}{x^3} > 0$，所以 $x = 1$ 是 $f(x)$ 的最小值点。因此，$f(x) \geq f(1) = e - \ln(1) - \frac{1}{1} = e - 1$。
因此，$g\left(\frac{1}{a-1}\right) > e - 1$，所以：
$$e^{x} - \ln(x) \geq (a-1)x + \ln(a)$$
当 $a > e^{-1}$ 时成立。
综上所述，$a$ 的范围是 $a \in [e^{-1}, \infty)$。
我们可以将 $e^{-1}$ 简化为 $\frac{1}{e}$，因此 $a$ 的范围可以表示为 $a \in \left[\frac{1}{e}, \infty\right)$。
因此，当 $a$ 属于区间 $\left[\frac{1}{e}, \infty\right)$ 时，不等式 $e^{x} - \ln(x) \geq (a-1)x + \ln(a)$ 成立。