Question

已知椭圆的左右两个焦点F1,F2为双曲线X^2/4-Y^2/3=1的顶点,且双曲线的离心率是椭

已知椭圆的左右两个焦点F1,F2为双曲线X^2/4-Y^2/3=1的顶点,且双曲线的离心率是椭圆的根号7倍.
（1）过F1的直线l与椭圆的两个交点A（x1，y1）和B（x2，y2）且|y1-y2|=3，若圆C的周长与三角形ABF2的周长相等，求圆C的面积及三角形ABF2的面积.

Answer 1

e=c/a
X^2/4-Y^2/3=1
a=2 b=根号3 c^2=4+3=7
c/a=根号7/2
顶点:(2,0) f1(-2,0)
设随圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1
C=2
c^2=a^2-b^2=4
c/a=(根号7/2)/根号7=1／2
a=2c=4
b^2=4^2-2^2=12
椭圆方程：x^2/16+y^2/12=1
三角形ABF2的周长＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝2a+2a=4*4=16
三角形ABF2的面积＝三角形F1BF2的面积+三角形F1AF2的面积
=|1／2（F1F2）＊y1-1/2(F1F2)*y2|
=1/2(F1F2)*|y1-y2|
=1/2*(2c)*3
=3c
=6
圆C半径= 16/3.14／2=8/3.14
面积=3.14*(8^2／3．14^2)＝64／3．14

追问

三角形ABF2的面积＝三角形F1BF2的面积+三角形F1AF2的面积
=|1／2（F1F2）＊y1-1/2(F1F2)*y2|
=1/2(F1F2)*|y1-y2|
=1/2*(2c)*3
=3c
=6
这里看不懂

追答

三角形ABF2的面积＝三角形F1BF2的面积+三角形F1AF2的面积
请一定要画图。一画图就看出来了。
过F1的直线AB与随圆交于AB两点。F1是三角形ABF2中，AB边上的一点。
F1F2把三角形ABF2分成两部份，三角形F1BF2和三角形F1AF2
即：三角形ABF2的面积＝三角形F1BF2的面积+三角形F1AF2的面积

三角形F1BF2中，F1F2边上的高为A点的纵坐标的绝对值。
其面积为：1/2*F1F2*|y1|
三角形F1AF2中，F1F2边上的高为B点的纵坐标的绝对值。
其面积为：1/2*F1F2*|y2|
三角形ABF2的面积＝1/2*F1F2*|y1| +1/2*F1F2*|y2| =1/2F1F2(|y1|+|y2| )
由于AB与轴交于F1点，y1,y2肯定有一个是正的，一个是负的。
于是：|y1|+|y2| =|y1-y2|

追问

为什么|y1|+|y2| =|y1-y2|呢,假若A点在上,B点在下,这怎么可能相等呢

追答

哈哈！
A点在上时，y1>0 y20
|y1|=-y1 |y2| =y2
|y1|+|y2| =-y1+y2=|y2-y1|=|y1-y2|