Question

有一张边长为25厘米的正方形纸,如果在它的四个角各减去1个小正方形，就可以做成一个无盖的

纸盒。现在要做成的纸盒容积最大，减去的小正方形的边长应该为几厘米？

Answer 1

剪边长是5厘米的小正方形，容积是：（25-5*2）=15厘米 15*15*5=1124立方厘米
剪边长是4厘米的小正方形，容积是：（25-4*2）=17厘米 17*17*4=1156立方厘米
剪边长是3厘米的小正方形，容积是： 25-（3*2）=19厘米 19*19*3=1083立方厘米
所以剪刀去的小正方形的边长应该为4厘米

Answer 2

设减去的小正方形的边长为x,0<x<12.5
那么正方体的底面的边长为25-2x厘米，这个无盖纸盒的高度为x厘米
所以无盖纸盒的体积y
=底面积*高
=(25-2x)*(25-2x)*x
=4x³-100x²+625x
所以：y'=12x²-200x+625=12(x-25/3)²-625/3
取y'=0，解得：
x=25/6或者12.5
所以函数y=4x³-100x²+625x在0<x<=25/6的区域内是单调递增的,在25/6<=x<25/3的区域内是单调递减的
所以x=25/6时，y有最大值，最大值=(25-2*25/6)²*(25/6)=62500/54=1157.41立方厘米
即：减去的小正方形的边长为25/6厘米时，做成的纸盒的容积最大，为62500/54立方厘米