Question

高一下数学比大小题，大家帮帮我

1。已知a，b∈R+，且a≠b，比较a^5+b^5和a^3×b^2+a^2×b^3的大小
2。已知x＜1，求证：lgx+logx10≥2，并说明式中等号成立的条件
谢谢大家

Answer 1

1、作差，得：(a^5＋b^5)－(a²b³＋a³b²)=(a^5－a²b³)＋(b^5－a³b²)=a²(a³－b³)－b²(a³－b³)=(a²－b²)(a³－b³)，因为a²－b²与a³－b³同正同负，则(a²－b²)(a³－b³)>0，得证。
(a^5＋b^5)>(a²b³＋a³b²)

2、利用基本不等式：lgx＋log(x)10=lgx＋(1/lgx)≥2√[(lgx)×(1/lgx)]=2，则：lgx＋log(x)10≥2
当且仅当lgx=1/lgx，即：x=10时取等号。 【应该是x>1】

追问

为甚魔a²－b²与a³－b³同正同负

追答

若a>b>0，则a²>b²，a³>b³
若b>a>0，则b²>a²，b³>a³

追问

lgx＋log(x)10=lgx＋(1/lgx）为什么啊？(1/lgx）哪来的

追答

因为：lgx=[lg(x)x]/[log(x)10]=1/[log(x)10]
【对数换底公式】

追问

lgx＋log(x)10=lgx＋(1/lgx）是怎么推过来的，写的再详细点好吗

追答

对于log(x)10，利用换底公式，得：
log(x)10=[lg10]/[lgx]=1/[lgx]，则：
lgx＋log(x)10=lgx＋(1/lgx)

Answer 2

1.
(a^5+b^5)-(a^3×b^2+a^2×b^3)=(a^2-b^2)(a^3-b^3)
=(a+b)(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^2+ab+b^2=（a+b)^2-ab 在(a+b)^2与a^2+b^2之间
所以大于
2.题目错了
lgx+logx10=lgx+1/(lgx)
lgx<0
所以矛盾

追问

没看太懂，为什么a^2+ab+b^2=（a+b)^2-ab 在(a+b)^2与a^2+b^2之间
所以大于

追答

因为(a+b)^2与a^2+b^2都大于0（因为a，b∈R+）
所以它们之间的数一定大于0